Problemas matemáticos

Estamos acostumbrados a encontrar problemas irresolubles: basta leer todos los días el periódico para encontrar muchos ejemplos. Quizá por esto, muchos son atraídos (o repelidos) por las ciencias "exactas", en especial por las matemáticas. En ella todo es verdadero, seguro y exacto. Y si alguien no puede resolver un problema matemático no es culpa de esa ciencia, sino de muestra idiotez. Pero los matemáticos saben desde hace tiempo que sí hay problemas matemáticos irresolubles. Algunos de ellos son muy famosos, como el de la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo, que dicen que es imposible hacer ciertas cosas siguiendo las reglas de la clásica geometría griega. Este tipo de problemas son imposibles de resolver porque las reglas que se estipulan son demasiado estrechas y agobiantes.

Hay otros problemas que son irresolubles en un sentido más profundo. En 1931, Kurt Gödel demostró que hay juicios o enunciados dentro de casi cualquier sistema de axiomas, que nunca pueden ser probados falsos o verdaderos. Esto quiere decir que no se puede decidir si uno de esos enunciados está "bien" o "mal": son sujetos de indecisión. El trabajo de Gödel es el elemento clave del interesantísimo libro de Douglas Hofstadter, físico e hijo de físico, Gödel, Escher, Bach, desgraciadamente muy mal traducido al español.

A partir de la prueba de Gödel, muchos matemáticos se han puesto a buscar ejemplos, examinando entre otros, problemas que son "candidatos al infierno de la indecisión perpetua", como los llamó L. A. Steen. Entre esos candidatos están el famoso teorema de Fermat, y estuvo la no menos célebre conjetura de Poincaré de los cuatro colores. De este safari los matemáticos, han regresado ya con algunos ejemplares auténticos de indecibilidad, como la conjetura de Jorge Cantor acerca de los tamaños relativos de subconjuntos de los números reales.

Para probar la indecibilidad de una afirmación es necesario encontrar por lo menos un caso en el que sea verdadera y otro en el que sea falsa (sin hacer trampas). Esto lo logró Pablo Cohen para la conjetura de Cantor allá por 1963 y después se han dado otros ejemplos. Gracias a ellos, hoy podemos afirmar que "quién sabe" es una legítima respuesta matemática.